06. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 30°, 45° και 60°

1 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 30°, 45° και 60°

Α. Για το παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο απαντήστε , συμπληρώστε ή υπολογίστε ανάλογα με την περίπτωση:

1. Τι τρίγωνο είναι ως προς το είδος των πλευρών;

2. Πόσες μοίρες είναι η γωνία \(\hatΒ\) , Πόσες η γωνία \(\hat Γ\);

3. Υπολογίστε την υποτείνουσα ΒΓ.

4. Υπολογίστε και τους 3 (ημ, συν, εφ) τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών \(\hat Β\) και \(\hat Γ\).

Β. Για το παρακάτω ισόπλευρο τρίγωνο απαντήστε , συμπληρώστε ή υπολογίστε ανάλογα με την περίπτωση:

1. Πόσες μοίρες είναι οι γωνίες \(\hatΒ\), \(\hatΓ\), και \(\hatΑ\);

2. Το ύψος ΑΔ είναι συνχρόνως ………………. και ………………

3. Πόσες μοίρες είναι η γωνία \(\hatΑ_1\) και η γωνία \(\hatΑ_2\);

4. Πόσο είναι το τμήμα ΒΔ και πόσο το ΔΓ;

5. Υπολογίστε το ύψος ΑΔ.

6. Υπολογίστε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς (ημ, συν, εφ) των γωνιών \(\hatΒ\) , \(\hatΓ\), \(\hatΑ_1\) και \(\hatΑ_2\).

7. Συγκεντρώστε τα παραπάνω αποτελέσματα στο παρακάτω πίνακα

Συμβουλή

Θα πρέπει να μάθετε τον πίνακα

	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\textbf{ημίτονο}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\textbf{συνημίτονο}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)
\(\textbf{εφαπτομένη}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)

1.1 Ασκήσεις

1. Να υπολογίσετε το ύψος και το εμβαδόν σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο σαν συνάρτηση της πλευράς του x.

2. Να υπολογίσετε την παράσταση

• \(Π_1=ημ^245^ο+2\cdotημ45^ο\cdotσυν45^ο+συν^245^ο\)
• \(Π_2=ημ^245^ο-2\cdotημ45^ο\cdotσυν45^ο+συν^245^ο\)
• \(Π_3=ημ30^ο\cdotσυν30^ο-ημ60^ο\cdotσυν60^ο\)
• \(Π_4=ημ30^ο\cdotσυν45^ο\cdotεφ60^ο\)
• \(Π_5 = ημ(30°) + συν(60°)\)
• \(Π_6=εφ(45°) · συν(60°) − ημ(30°)\)
• \(Π_7=3·ημ²(45°) + 3·συν²(45°) − εφ(45°)\)
• \(Π_8=2ημ30^ο+συν60^ο-εφ45^ο\)
• \(Π_9=3ημ^2ω-συνω\), όταν \(ω=60^ο\), \(ω=45^ο\)

3. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα είναι 12 cm και μία γωνία \(30^ο\). Να βρείτε τις άλλες δύο πλευρές.

4. Ένας πύργος ύψους 20 m φαίνεται από σημείο στο έδαφος με γωνία ανύψωσης \(45^ο\). Να βρείτε την απόσταση του παρατηρητή από τον πύργο.

5. Μια σκάλα μήκους 10 m σχηματίζει γωνία \(30^ο\) με το έδαφος. Να βρείτε:

α) το ύψος που φτάνει

β) την απόσταση της βάσης από τον τοίχο

6. Μία ράμπα έχει κλίση \(30^ο\) και μήκος 8 m. Να βρείτε το ύψος που φτάνει από το οριζόντιο επίπεδο.

7. Δίνεται το παρακάτω σχήμα:

Να υπολογίσετε:

• Το μήκος ΑΒ
• Το μήκος ΒΓ
• Το συνολικό μήκος ΑΓ
• Την περίμετρο του τριγώνου ΑΔΓ
• Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΔΓ

8. Να υπολογίστε την περίμετρο ΑΒΕΔΓ του παρακάτω σχήματος.

Ανατρέξτε στους τριγωνομετρικούς πίνακες

9. Να υπολογίσετε το μήκος της τεθλασμένης ΑΓΔΗΖΘΒ.

10. Να υπολογίσετε την περίμετρο του παρακάτω τετραπλεύρου (Αετός)

ΣυμβουλήΝα τηρείτε τον παρακάτω κανόνα

Σε αυτά τα προβλήματα, δοκιμάστε πρώτα να κάνετε ένα πρόχειρο σχήμα (ένα ορθογώνιο τρίγωνο) και να σημειώσετε ποια πλευρά είναι η υποτείνουσα.

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !